Объ­яс­ним на­пи­са­ние зна­ков.

Въедливый на­чаль­ник  — Ъ после при­став­ки перед е;

шесть афиш  — в род. па­де­же Им. сущ. нет Ь знака;

совьют гнез­до  — раз­де­ли­тель­ный Ь знак;

та­лант­ли­вый скри­пач  — в сущ м. р. не пи­шет­ся Ь;

не­мощ­ный че­ло­век  — со­че­та­ние «щн» пи­шет­ся без Ь знака.

Ответ: со­вьют.