1)   За­вер­шив ра­бо­ту, хо­ро­шо от­ды­ха­лось в Гре­ции. — на­ру­ше­ние есть, оно со­сто­ит в том, что при де­е­при­част­ный обо­рот упо­треблён в без­лич­ном пред­ло­же­нии, что не­до­пу­сти­мо. Пра­виль­но было бы: После за­вер­ше­ния ра­бо­ты нам хо­ро­шо от­ды­ха­лось в Гре­ции.

2)   Стар­шая сест­ра убеж­да­ла его о не­об­хо­ди­мо­сти про­дол­жить учёбу. — на­ру­ше­ний есть: убеж­дать сле­ду­ет в не­об­хо­ди­мо­сти

3)   Ро­ди­те­ли все­гда за­бо­тят­ся и пе­ре­жи­ва­ют даже за взрос­лых детей. — на­ру­ше­ние есть, оно со­сто­ит в том, что при двух ска­зу­е­мых име­ет­ся одно до­пол­не­ние, но оно не может быть общим: за­бо­тят­ся (о ком?) и пе­ре­жи­ва­ют (за кого?) Пра­виль­но было бы: Ро­ди­те­ли все­гда пе­ре­жи­ва­ют даже за взрос­лых детей и за­бо­тят­ся о них.

4)   Федя спро­сил, что будет ли гроза. — на­ру­ше­ние есть, оно со­сто­ит в том, что при пе­ре­да­че кос­вен­ной речи не­вер­но ис­поль­зо­ван союз «что», нужна толь­ко ча­сти­ца «ли». Пра­виль­но было бы: Федя спро­сил, будет ли гроза.

5)   В наше время из­ме­нил­ся не толь­ко сам рынок труда, но и под­ход к по­ис­ку ра­бо­ты. — на­ру­ше­ний нет

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 1234.